8. Násobky, delitele, nsn, NSD

Čo sú a ako nájdeme najmenšie spoločné násobky a najväčšie spoločné delitele? Poďme na to postupne...

Nesúdeliteľné čísla

V matematickom vesmíre existujú dvojice čísel, ktoré sú voči sebe "tvrdohlavé" a nemajú žiadnu spoločnú reč. Hovoríme im nesúdeliteľné čísla. Skvelým príkladom sú čísla 6 a 7. Ak sa pokúsite nájsť ich spoločné stavebné prvky, zistíte, že okrem jednotky nezdieľajú vôbec nič. "Najmenším spoločným násobkom dvoch nesúdeliteľných čísel a, b je ich súčin a.b"

Pre naše čísla 6 a 7 to v praxi znamená, že ich najmenší spoločný násobok nsn(6, 7) je jednoducho 42. Žiadne zložité výpočty, žiadne hľadanie prienikov – len čistý súčin.

Rozklad na prvočísla

Prvočíslo je číslo, ktoré má len dvoch deliteľov: číslo 1 a seba samého. (Pozri článok č. 7)

Každé zložene číslo si môžeme predstaviť ako unikátny organizmus. Ak ho chceme skutočne spoznať, musíme sa pozrieť na jeho "genetický kód" – rozklad na súčin prvočísel. Tento kód nám presne povie, z čoho je číslo postavené. Pozrime sa na rozklad čísel 12 a 18 na prvočísla:

12 = 2.2.3

18 = 2.3.3

Najmenší spoločný násobok (nsn)

Ak chceme nájsť bod, v ktorom sa stretnú násobky napríklad čísla 12 a 18, mechanické vypisovanie násobkov by bola jedna cesta. Avšak matematika namiesto toho používa elegantný proces založený na prvočíselnom rozklade:

12              = 2. 2. 3

18              = 2.     3. 3

                     ↓  ↓  ↓  ↓

nsn(12, 18) = 2. 2. 3. 3 = 36

Kľúčom k úspechu je pravidlo: "Spoločné prvočísla vyberieme iba raz". Pri číslach 12 a 18 sú to prvočísla 2 a 3.

Výsledný súčin nám dá najmenší spoločný násobok: nsn(12, 18) = 2.2.3.3 = 36

Tento postup nám zaručuje, že sme našli najmenšie možné číslo, do ktorého sa obidve pôvodné hodnoty "presne zmestia".

Najväčší spoločný deliteľ (NSD)

Slovo "deliteľ" znie jednoducho – je to číslo, ktoré delí iné číslo bezo zvyšku. Napríklad 12 môžeme deliť číslom 3 a dostanete presne 4. Delitele čísla 12 sú 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Spoločný deliteľ je číslo, ktoré je deliteľom každého z daných čísel.

Pri našich číslach 12 a 18 je spoločným deliteľom číslo 2 (obe čísla 12 aj 18 sú párne), ďalej 3, 4 a 6. Avšak číslo 6 je najväčším spoločným deliteľom.

Najväčší spoločný deliteľ (NSD) potom nie je len nejaké náhodné číslo, ktoré nám "vyjde". Je to súčin ich spoločnej "DNA". Pri pohľade na rozklad vidíme, že obe čísla majú spoločné prvočísla 2 a 3.

12              = 2. 2. 3

18              = 2. 3. 3

                     ↓     ↓ 

NSD(12,18) = 2.    3 = 6

Práve táto spoločná časť určuje najväčšiu mieru, ktorou môžeme obe čísla naraz rozdeliť bez toho, aby nám niečo zvýšilo.

Na záver si to znázorníme pomocou zjednotenia (nsn) a prieniku (NSD) dvoch množín.