18. Absolútna hodnota

Absolútna hodnota nám hovorí, ako ďaleko je nejaké číslo od nuly na číselnej osi. Inak povedané, absolútna hodnota je vzdialenosť čísla od počiatku (nuly).

Zapisuje sa pomocou dvoch zvislých čiar: |x| (čítame "absolútna hodnota x").

Je vždy kladné číslo alebo 0. Dve navzájom opačné čísla majú rovnaké absolútne hodnoty.

Znázornenie na číselnej osi

Najlepšie absolútnu hodnotu pochopíme na číselnej osi. Nula je stred, od ktorého meriame vzdialenosť oboma smermi:

Číslo 3 je od nuly vzdialené 3 jednotky, preto |3| = 3. Číslo -3 je od nuly tiež vzdialené 3 jednotky len na opačnú stranu, preto |-3| = 3.

Vzdialenosť nemôže byť záporná a presne to je podstata absolútnej hodnoty.

Jednoduché vysvetlenie

Predstav si, že bývaš presne v bode 0 na číselnej osi a vyrazíš z domu na ulicu. Máš dve možnosti. Ak ideš doprava 50 m, si vo vzdialenosti 50 metrov od domu. Ak ideš doľava 50 m, si tiež vo vzdialenosti 50 metrov od domu – len na druhej strane.

Smer, ktorým si sa vybral, je dôležitý pre to, kde sa nachádzaš (to je znamienko čísla). Ale vzdialenosť od domu je vždy kladné číslo, lebo vzdialenosť je vždy kladná. Presne toto robí absolútna hodnota – zaujíma ju len to, koľko krokov si urobil a nie ktorým smerom.

Matematická definícia

Absolútnu hodnotu čísla "a" definujeme takto:

a) ak a ≥ 0 ⇒ |a| = a,...b) ak a < 0 ⇒ |a| = -a.

Znamená to:

a) Ak je číslo "a" kladné alebo nula, absolútna hodnota sa rovná samotnému číslu.

b) Ak je číslo "a" záporné, absolútna hodnota sa rovná jeho opačnému číslu!

Príklad: Absolútna hodnota čísla 3... |3| = 3, absolútna hodnota čísla "-3"... |-3| = -(-3) = 3

Použitie v praxi

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je vždy kladná, bez ohľadu na smer cesty. Rýchlosť ako veľkosť tiež je kladná, napr. auto ide "50 km/h", nie "-50 km/h", aj keď smer môže byť opačný.

Najčastejšie chyby

• Zabúdanie na výpočet vo vnútri absolútnej hodnoty ako prvý krok. Napríklad |4 − 9|. Správne je najprv vyriešiť výraz vnútri a až potom aplikuj absolútnu hodnotu: |4 − 9| = |−5| = 5.
• Mýlenie si "-|x|" s |-x|. Toto sú dve rôzne veci! "-|x|" je vždy záporné číslo (alebo nula), pretože mínus je pred absolútnou hodnotou.
• Zabúdanie na dve riešenia pri rovniciach. Rovnica |x| = 5 má dve riešenia: x = 5 tiež aj x = -5, pretože obe čísla sú od nuly vzdialené 5 jednotiek.

T9-2015 (Úloha 15) · Zadanie: Ktoré číslo má tú vlastnosť, že keď ho zväčšíme o 7, dostaneme číslo, ktoré má rovnakú absolútnu hodnotu ako pôvodné číslo? 

Využitie opačných čísel: Dve rôzne čísla majú rovnakú absolútnu hodnotu, t.j. |x| = |x+7| práve vtedy, keď sú navzájom opačné. Ich súčet sa preto rovná nule:

x + (x + 7) = 0

2x + 7 = 0 /-7

2x = -7 /:2

x = -3,5