17. Opačné čísla, opačné výrazy

Opačné číslo

Opačné číslo je číslo s rovnakou hodnotou, ale opačným znamienkom. Opačné číslo ku kladnému číslu je vždy číslo záporné, a naopak.

Napríklad opačné číslo k 2 je -2, zapíšeme to –(+2) = -2. Platí to aj naopak. Opačné číslo k -2 je 2. Toto môžeme zapísať ako rovnosť –(-2) = 2.

Na číselnej osi ležia opačné čísla v rovnakej vzdialenosti od nuly, len každé na inej strane.

Dve čísla sú opačné, ak sa teda líšia iba znamienkom a ich súčet je nula.

Opačné číslo k číslu 5 je −5, pretože 5 + (−5) = 0

Opačné číslo k číslu −12 je 12, pretože −12 + 12 = 0

Tieto pravidlá môžeme zovšeobecniť:

a + (-a) = 0

-(-a) = a

Pozor: Opačné číslo nie je to isté ako prevrátené číslo! (Prevrátené číslo resp. prevrátená hodnota čísla k číslu "x" je "1/x".)

Opačné výrazy

Keď namiesto jedného čísla máme celý výraz, princíp ostáva rovnaký — zmeníme znamienko pri každom člene vo výraze.

Opačný výraz k výrazu (a + b) je −(a + b) = −a − b.

Opačný výraz k výrazu (a - b) je −(a - b) = −a + b.

Toto sa najviac hodí vtedy, keď pred zátvorkou stojí znamienko mínus a zátvorku potrebuješ odstrániť. Vtedy sa zmení na opačný každý člen vnútri zátvorky, nie iba na prvý.

Príklad z T9-2011 (Úloha 19)

Zadanie: Rozložte výraz x.(y - 2) – 4.(2 - y) na súčin dvoch výrazov.

Využitie opačných výrazov: Dvojčlen (2 - y) je opačný výraz k dvojčlenu (y - 2), pretože ich súčet sa rovná nule, t.j. (y – 2) + (2 – y) = 0. Vyňatím z druhého dvojčlena (-1) pred zátvorku dostávame:

x.(y - 2) – 4.(2 - y) = x.(y - 2) -4.(-1).(y – 2) = x.(y - 2) +4.(y – 2) = (y – 2).(x + 4)