15.3 Distributívny zákon (roznásobenie)

Hovorí, že súčet (alebo rozdiel) v zátvorke môžeme vynásobiť tak, že násobíme každého člena v zátvorke zvlášť.

a . (b + c) = a . b + a . c

analogicky

a . (b − c) = a . b − a . c

Príklad:

T9-2022 (Úloha 24): Pri nerovnici

3 < 2 . (3x - 9) sa zátvorka roznásobuje na pravej strane

3 < 6x – 18

Ďalej sa oplatí použiť Distributívny zákon hlavne pri násobení spamäti. Veľké číslo si môžeme rozložiť na okrúhle a zvyšok:

7 × 23 = 7 × (20 + 3) = 7 × 20 + 7 × 3 = 140 + 21 = 161

Znázornenie

Súčin čísla a súčtu sa rovná súčtu čiastkových súčinov. Veľký obdĺžnik s obsahom a . (b + c) sa skladá z dvoch menších obdĺžnikov s obsahmi "a . b" a "a . c".

Vyňatie pred zátvorku (reverzný distributívny zákon)

Uvedomme si, že rovnosť platí samozrejme aj opačne:

a . b + a . c = a . (b + c)

Tento postup často zjednodušuje výpočet s reálnymi číslami alebo úpravu výrazov na súčin. Pred zátvorku vynímame to, čo majú oba členy spoločné. Kontrola je taká, že po roznásobení musíte dostať pôvodný výraz.

Príklad:

T9-2009 (Úloha 17): Pri výpočte obsahu chodníka okolo kruhového záhona sa počíta rozdiel dvoch obsahov kruhov. Využitím distributívneho zákona vyňatím "pí" (3,14) pred zátvorku sa výpočet zjednoduší na: S = 3,14 . 9 – 3,14 . 4 = 3,14 . (9 - 4) = 3,14 . 5 = 15,7. Týmto krokom sa žiak vyhne dvojitému násobeniu desatinným číslom "pí" (3,14).

Upozornenie

Nezabudnite vynásobiť aj druhé číslo v zátvorke. Pri distributívnom zákone žiaci niekedy spočítajú len a . b a na a . c zabudnú: 6 . (10 + 3) ≠ 60 + 3. Správne je 60 + 18.

Pozor aj na znamienko mínus! Pri a . (b − c) žiaci niekedy zabudnú, že druhý súčin sa odčítava, nie pripočítava: 6 . (10 − 3) = 60 − 18, nie 60 + 18!

Roznásobenie platí aj pre veľké súčty: a . (b + c + d + e +...) = a . b + a . c + a . d + a . e +...